Zadanie 1

Zadanie 
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej BC, poprowadzono odcinki MD oraz MS, prostopadłe odpowiednio do przyprostokątnych AC oraz AB (rysunek obok). Udowodnij, że .
(|DM|)/(|AB|)+(|MS|)/(|AC|)=1
Założenie:
∆ABC – prostokątny, |<BAC| = 90°, MϵBC, MD AC oraz MS AB

Teza:
(|DM|)/(|AB|)+(|MS|)/(|AC|)=1

Dowód: 
 |<BAC| = |<MDC| = 90° (z założenia)
|<ACB| = |<DCM| (wspólny kąt ostry), na podstawie cechy kkk
DMC ~ ABC stąd
(|DM|)/(|AB|)=(|CM|)/(|CB|)

|<BAC| = |<BSM| = 90° (z założenia)
|<ABC| = |<SBM| (wspólny kąt ostry), na podstawie cechy kkk
MSB ~ ABC
(|MS|)/(|AC|)=(|MB|)/(|CB|)
(|DM|)/(|AB|)+(|MS|)/(|AC|)=(|CM|)/(|CB|)+(|MB|)/(|CB|)=(|CM|+|MB|)/(|CB|)=(|CB|)/(|CB|)=1