Zadanie 4

W danym okręgu o środku O poprowadzono cięciwy MN i KL, które przecięły się w punkcji A.
a) Wykaż, że trójkąty MLA i KAN są podobne.
b) Wiedząc, że |MN| = 30, |MA|:|AN| = 3:2 oraz |KA| : |AL| = 3:8, oblicz długość cięciwy KL.




 |<MAL| = |<KAN|- kąty wierzchołkowe
|<LMN| = |<LKN| - kąty wpisane oparte na tym samym łuku zatem na mocy cechy kkk MLA ~ KAN
 |AN| = x , x > 0 oraz |MA| = 30 – x
(|MA|)/(|AN| )=(30-x)/x (|MA|)/(|AN| )=3/2 3/2=(30-x)/x x = |AN| =12 |MA| = 18
|KA| = y y > 0 (|KA|)/(|AL| )=(y|)/(|AL| ) 3/8 |AL|= 8y/3
y/18=12/(8y/3)
y=|KA|=9 |AL|=24 |KL| = 33
Odp:długość odcinka |KL| = 33

Zadanie 3

Oblicz długość krawędzi prostopadłościanu, wiedząc, że są one kolejnymi liczbami nieparzystymi, a objętość prostopadłościanu jest równa 105 〖cm〗^3
Analiza:
2n-1 - długość podstawy prostopadłościanu w cm;
2n-1>0
2n+1 - szerokości podstawy w cm: 2n+1>0
2n +3 - wysokość w cm: 2n+3>0
D∈( 1/2;∞)
V =105 〖cm〗^3 - objętość
Ułożenie i rozwiązanie równania.
(2n-1)(2n+1)(2n+3)=105
(4n^2-1)(2n+3)=105
8n^3+12n^2-2n-108=0 /:2
4n^3+6n^2-n-54=0
Szukamy pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego.
Dzielniki: 1, 2, 3, 6, 9, 27,54
W(1) = 4+6-1-54= -45
W(2) = 32 +24 -2 -54= 0
Schemat Hornera
  4 6 -1 -54
  W(2) = 4*2+6 = 14*2 – 1 = 27*2 -54 = 0 lub dzielenie wielomianu przez dwumian.
  Równanie przyjmuje postać (n-2)(4n^2+14n+27)=0
n= 2 ϵD ∆=196-432= -236<0 brak pierwiastków
Sprawdzenie: 3 cm, 5 cm, 7cm .
Odp: Wymiary prostopadłościanu to 3 cm, 5 cm, 7cm.

Zadanie 2

Zadanie
W trójkącie ABC długości boków wynoszą:
|AB| = c, |AC| = b, |BC| = a, gdzie 0 < a < b < c.
Pole tego trójkąta wynosi 3.
Wykaż, że |AC| > 6 .
Założenie:
ABC – dowolny, |AB| = c, |AC| = b,
|BC| = a, gdzie 0 < a < b < c, PABC = 3
Teza:
|AC| > 6
Dowód:
Prowadzę wysokość AD trójkąta ABC z wierzchołka
A na bok BC. Wprowadzam oznaczenie:
|AD| = h, h > 0.
PABC =1/2|BC||AD| =1/2ah = 3, skąd ah = 6.
 a < b (z założenia)
 h b
Otrzymuję: ah < b2 czyli b2 > 6, skąd b > 6
(bo z założenia b > 0). Zatem
|AC| > 6 .

Zadanie 1

Zadanie 
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej BC, poprowadzono odcinki MD oraz MS, prostopadłe odpowiednio do przyprostokątnych AC oraz AB (rysunek obok). Udowodnij, że .
(|DM|)/(|AB|)+(|MS|)/(|AC|)=1
Założenie:
∆ABC – prostokątny, |<BAC| = 90°, MϵBC, MD AC oraz MS AB

Teza:
(|DM|)/(|AB|)+(|MS|)/(|AC|)=1

Dowód: 
 |<BAC| = |<MDC| = 90° (z założenia)
|<ACB| = |<DCM| (wspólny kąt ostry), na podstawie cechy kkk
DMC ~ ABC stąd
(|DM|)/(|AB|)=(|CM|)/(|CB|)

|<BAC| = |<BSM| = 90° (z założenia)
|<ABC| = |<SBM| (wspólny kąt ostry), na podstawie cechy kkk
MSB ~ ABC
(|MS|)/(|AC|)=(|MB|)/(|CB|)
(|DM|)/(|AB|)+(|MS|)/(|AC|)=(|CM|)/(|CB|)+(|MB|)/(|CB|)=(|CM|+|MB|)/(|CB|)=(|CB|)/(|CB|)=1