5.247

Wielomian W(x) = - x³+5x²+ax+b jest równy wielomianowi P(x) = (x - 1)²(c - x), gdzie c ≠ 1.
a) Wyznacz a, b, c
b) Dla wyznaczonej wartości c rozłóż na czynniki wielomian F(x) = P(x+2) - 4(1-x).

Rozwiązanie:
P(x) = (x² - 2x +1)(c -x) = cx² - x³ -2cx +2x² + c - x = -x³ + (2 + c)x² - (2c + 1)x + c

porównujemy odpowiednie współczynniki

5 = 2 +c                      c = 3
a = -(2c +1)                 a = -7                  
b = c                           b = 3    

b)
 P(x) = (x - 1)²(3 - x)
P(x + 2) = (x + 2 - 1)²[3 - (x +2)] = (x + 1)²(3 - x -2) = (x + 1)²(1 - x)

F(x) = (x + 1)²(1 - x) - 4(1 - x) = (1 - x)[(x +1)² - 4] = (1 - x)[(x +1) - 2][(x + 1) +2] =
= (1 - x)(x - 1)(x + 3) = (x - 1)(x - 1)(x + 3) = -(x - 1)²(x + 3).