czwartek, 29 grudnia 2016
środa, 28 grudnia 2016
wtorek, 27 grudnia 2016
Spis treści - powtórka przed maturą
Spis treści
2. Wyrażenia algebraiczne.
3. Własności funkcji. Funkcja liniowa.
4, Funkcja Kwadratowa.
5. Wielomiany. Proporcjonalność odwrotna. Funkcja wykładnicza.
6. Ciągi liczbowe.
7. Trygonometria kąta ostrego.
8. Planimetria, cz. 1. Wiadomości wstępne. Trójkąty.
9. Planimetria, cz. 2. Czworokąty. Wielokąty
10. Geometria analityczna.
11. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
12. Stereometria.
poniedziałek, 26 grudnia 2016
sobota, 24 grudnia 2016
piątek, 23 grudnia 2016
5.250
Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = - x³ + ax² + 5x - b, x ∈ R. Reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian (x + 1) jest równa -8.
a) Oblicz a i b.
b) Rozwiąż równanie W(x) = 0.
a) Oblicz a i b.
b) Rozwiąż równanie W(x) = 0.
czwartek, 22 grudnia 2016
5.249
Wielomian W(x) = x³ - (a +b)x² - (a - b)x + 3, x ∊ R, jest podzielny przez wielomian P(x) = x² - 4x + 3. Wyznacz a i b, następnie rozwiąż równanie W(x) = 0.
5.248
Dany jest wielomian W(x) = x⁴ + x² +ax +b, x ∊ R.
a) Wyznacz a i b, wiedząc, że wielomian jest podzielny przez x² - 1.
b) Dla wyznaczonych wartości a i b rozwiąż równanie W(x +3) = 0.
c) Dla wyznaczonych wartości a i b rozwiąż równanie W(x) = x⁴ + x³.
a) Wyznacz a i b, wiedząc, że wielomian jest podzielny przez x² - 1.
b) Dla wyznaczonych wartości a i b rozwiąż równanie W(x +3) = 0.
c) Dla wyznaczonych wartości a i b rozwiąż równanie W(x) = x⁴ + x³.
5.247
Wielomian W(x) = - x³+5x²+ax+b jest równy wielomianowi P(x) = (x - 1)²(c - x), gdzie c ≠ 1.
a) Wyznacz a, b, c
b) Dla wyznaczonej wartości c rozłóż na czynniki wielomian F(x) = P(x+2) - 4(1-x).
Rozwiązanie:
P(x) = (x² - 2x +1)(c -x) = cx² - x³ -2cx +2x² + c - x = -x³ + (2 + c)x² - (2c + 1)x + c
porównujemy odpowiednie współczynniki
5 = 2 +c c = 3
a = -(2c +1) a = -7
b = c b = 3
b)
P(x) = (x - 1)²(3 - x)
P(x + 2) = (x + 2 - 1)²[3 - (x +2)] = (x + 1)²(3 - x -2) = (x + 1)²(1 - x)
F(x) = (x + 1)²(1 - x) - 4(1 - x) = (1 - x)[(x +1)² - 4] = (1 - x)[(x +1) - 2][(x + 1) +2] =
= (1 - x)(x - 1)(x + 3) = (x - 1)(x - 1)(x + 3) = -(x - 1)²(x + 3).
a) Wyznacz a, b, c
b) Dla wyznaczonej wartości c rozłóż na czynniki wielomian F(x) = P(x+2) - 4(1-x).
Rozwiązanie:
P(x) = (x² - 2x +1)(c -x) = cx² - x³ -2cx +2x² + c - x = -x³ + (2 + c)x² - (2c + 1)x + c
porównujemy odpowiednie współczynniki
5 = 2 +c c = 3
a = -(2c +1) a = -7
b = c b = 3
b)
P(x) = (x - 1)²(3 - x)
P(x + 2) = (x + 2 - 1)²[3 - (x +2)] = (x + 1)²(3 - x -2) = (x + 1)²(1 - x)
F(x) = (x + 1)²(1 - x) - 4(1 - x) = (1 - x)[(x +1)² - 4] = (1 - x)[(x +1) - 2][(x + 1) +2] =
= (1 - x)(x - 1)(x + 3) = (x - 1)(x - 1)(x + 3) = -(x - 1)²(x + 3).
środa, 21 grudnia 2016
5. 246
Wielomian W(x) = a(x - p)²(x + q), gdzie a ≠ 0, ma dwa pierwiastki 2 oraz -1, przy czym drugi z nich jest pierwiastkiem dwukrotnym. Ponadto, dla liczby - 2 wielomian przyjmuje wartość 36.
a) Wyznacz wartości parametrów a, p, q.
b) Dla wyznaczonych wartości a, p, q rowiąż równanie W(x) = 2.
a) Wyznacz wartości parametrów a, p, q.
b) Dla wyznaczonych wartości a, p, q rowiąż równanie W(x) = 2.
poniedziałek, 19 grudnia 2016
niedziela, 18 grudnia 2016
sobota, 17 grudnia 2016
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 5
5.240. Wyznacz wartość parametrów a i b tak, aby wielomiany W(x) i F(x) były równe.
5.241. Dane są wielomiany: K(x) oraz S(x).
a) Wykonaj dzielenie wielomianu przez wielomian S(x). Wynik oznacz P(x).
b) Sprawdź, czy istnieją takie liczby a i b, aby wielomian W(x) był wielomianem zerowym.
5. 242. Dany jest wielomian W(x) z parametrem k......
5.243. Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x - 3.......
5.244. Dany jest wielomian W(x) .........
5.245. Wielomian W(x) dla liczby 5 przyjmuje wartość -160....
5.246. Wielomian W(x) = a(x - p)²(x + q), gdzie a ≠ 0, ma dwa pierwiastki 2 oraz -1, przy czym drugi z nich jest pierwiastkiem dwukrotnym. .....
5.247. Wielomian W(x) = - x³ + 5x² + ax + b jest równy wielomianowi P(x) = (x - 1)²(c - x), gdzie c ≠ 1.
5.248. Dany jest wielomian W(x) = x⁴ + x² +ax +b, x ∊ R.
5.249. Wielomian W(x) = x³ - (a +b)x² - (a - b)x + 3, x ∊ R
5.250. Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = - x³ + ax² + 5x - b, x ∈ R...
5.251. Wyznacz wartość parametru a tak, aby po podzieleniu wielomianu W(x)...
5.252. Wielomian W(x) dla liczby 2 przyjmuje wartość równą zeru. Wyznacz resztę ...
5.253. Wielomian W(x) przy dzieleniu przez dwumian (x - 1) , (x + 2), (x - 3) daje...
5.254. Dany jest wielomian W(x), gdzie m jest parametrem ...
5.255. Dany jest wielomian W(x) = (mx+1)[(m + 2)x² + 4x + m - 1], gdzie m jest parametrem ...
5.256. Wyznacz wartość parametru m ...
5,257. Dla jakich wartości parametru m ...
5.258. Liczba -1 jest rozwiązaniem równania ...
5.259. Na rysunku obok przedstawiony jest ...
5.260. Na rysunku obok przedstawiony jest ...
5.261. O funkcji wielomianowej W(x) wiadomo ...
5.262. Funkcja wielomianowa W(x) ma trzy ...
5.263. Miejscami zerowymi funkcji W(x) są ...
5.264. Funkcja wielomianowa y = W(x) ...
5.265. Wykaż, że funkcja ...
5.266. Wykaż, że funkcja ...
5.267. Wykaż, że jeśli ...
5.268. Wyznacz wymiary prostopadłościennego basenu ...
5.269. W trzycyfrowej liczbie ...
5.270. W rodzinie państwa Kowalskich jest ...
Wielomiany
1. Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej.
2. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów
3. Równość wielomianów
4. Podzielność wielomianów
5. Dzielenie wielomianów. Dzielenie wielomianów z resztą
6. Dzielenie wielomianów przez dwumian liniowy za pomocą schematu Hornera
7. Pierwiastek wielomianu
8. Twierdzenie Bezouta
9. Pierwiastek wielokrotny
10. Rozkładanie wielomianu na czynniki
11. Równania wielomianowe
12. Zadania prowadzące do równań wielomianowych
13. Równania wielomianowe z parametrem
14. Funkcje wielomianowe
15. Nierówności wielomianowe
16. Test sprawdzający do rozdziału 5
17. Zadania powtórzeniowe do rozdziału 5
2. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów
3. Równość wielomianów
4. Podzielność wielomianów
5. Dzielenie wielomianów. Dzielenie wielomianów z resztą
6. Dzielenie wielomianów przez dwumian liniowy za pomocą schematu Hornera
7. Pierwiastek wielomianu
8. Twierdzenie Bezouta
9. Pierwiastek wielokrotny
10. Rozkładanie wielomianu na czynniki
11. Równania wielomianowe
12. Zadania prowadzące do równań wielomianowych
13. Równania wielomianowe z parametrem
14. Funkcje wielomianowe
15. Nierówności wielomianowe
16. Test sprawdzający do rozdziału 5
17. Zadania powtórzeniowe do rozdziału 5
Własności funkcji kwadratowej
Zad. 2.1
Zad. 2.2
Zad. 2.3
Zad. 2.4
Zad. 2.5
Zad. 2.6
Zad. 2.7
Zad. 2.8
Zad. 2.9
Zad. 2.10
Zad. 2.11
Zad. 2.2
Zad. 2.3
Zad. 2.4
Zad. 2.5
Zad. 2.6
Zad. 2.7
Zad. 2.8
Zad. 2.9
Zad. 2.10
Zad. 2.11
Funkcja kwadratowa
2.1 Własności funkcji kwadratowej.
2.2 Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
2.3 Związek między wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej a wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
2.4 Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.
2.5 Szkicowanie wykresów funkcji kwadratowych. Odczytywanie własności funkcji kwadratowych na podstawie wykresów.
2.6 Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
2.7 Badanie funkcji kwadratowej - zadania optymalizacyjne.
2.8 Równania kwadratowe.
2.9 Równania prowadzące do równań kwadratowych.
2.10 Nierówności kwadratowe.
2.11 Równania i nierówności, w których niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka kwadratowego.
2.12 Zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych.
2.13 Wzory Viete`a
2.14 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
2.15 Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną.
2.16 Równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną.
2.17 Równania kwadratowe z wartością bezwzględną i parametrem.
2.2 Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
2.3 Związek między wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej a wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
2.4 Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.
2.5 Szkicowanie wykresów funkcji kwadratowych. Odczytywanie własności funkcji kwadratowych na podstawie wykresów.
2.6 Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
2.7 Badanie funkcji kwadratowej - zadania optymalizacyjne.
2.8 Równania kwadratowe.
2.9 Równania prowadzące do równań kwadratowych.
2.10 Nierówności kwadratowe.
2.11 Równania i nierówności, w których niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka kwadratowego.
2.12 Zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych.
2.13 Wzory Viete`a
2.14 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem.
2.15 Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną.
2.16 Równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną.
2.17 Równania kwadratowe z wartością bezwzględną i parametrem.